: מציאת המטען על הקבל והזרם במעגל כפונקציה של הזמן ( )

Transcript

1 : מציאת המטען על הקבל והזרם במעגל כפונקציה של הזמן מעגלי קבל בנוי כך שמטען איננו יכול לעבור מצידו האחד לצידו האחר (אחרת לא היה יכול להחזיק מטען בצד אחד ומטען בצד השני) ולכן זרם קבוע לא יכול לזרום דרך הקבל.עניינינו במעגלי נובע מכך,שבאופן זמני יכול לזרום במעגל זרם עד לטעינה/פריקה של הקבל (בהתאם למצב הקבל ברגע יצירת המעגל ולנוכחות מקור מתח). רקע מתמטי קצר פתרון אקספוננציאלי למשוואה דיפרנציאלית משוואה דיפרנציאלית מציגה קשר הנגזרת של פונקציה לבין הפונקציה עצמה. במילים אחרות, אם יש פונקציה.x בכל ערך של df(x)/dx לנגזרת f(x) המשוואה קובעת מהו הקשר בין, f(x) לצורך מעגלי די לנו להסתפק בסוג מאוד פשוט של משוואות דיפרנציאליות. נאמר שיש לנו גודל כלשהוא,, התלוי בזמן, t. ישנו מגוון גדול של בעיות שבהן קצב השינוי של בזמן, כלומר הנגזרת של לפי הזמן, פרופורציוני לערכו של באותו זמן. בניסוח מתמטי זה יראה כך d A( t) כאשר A הוא קבוע שיכול להיות חיובי (ואז גדל כל הזמן) או שלילי (ואז קטן בהנחה שהוא התחיל ממספר חיובי). משוואה זו מתארת, בין היתר, את הקשר בין קצב הגידול של אוכלוסיה לבין גודל האוכלוסיה בזמן מסויים, אם ידוע שקצב הריבוי הטבעי (נאמר, באחוזים לשנה) קבוע.דוגמא אחרת: זו גם המשוואה המתארת את הקשר בין קצב ההתפרקויות של חומר רדיואקטיבי לכמות האטומים הרדיואקטיביים המצויים בו (A שלילי המספר קטן בזמן). זו משוואה קלה מאוד לפתרון. נאמר שאנחנו מתחילים מזמן t שבו, ומעוניינים לדעת את ערכו של בזמן t, אותו נסמן ב. נפתח ונקבל משוואה המשווה בין שני אינטגרלים פשוטים: d d d A A A אינטגרל על צד ימין מ t עד t שווה לאינטגרל על צד שמאל מ עד. ביצוע שני האינטגרלים נותן ln A( t t ) ( ) ln( ) At At ln A( t t ) e כאשר e הוא הבסיס של הלוגאריתם הטבעי...788e. להלן אנו נתעניין בבעיות שבהן מתחילים למדוד את הזמן מ כך ש t, ונגדיר ש הוא הערך של ברגע שמתחילים למדוד את הזמן; ערך זה של הוא "תנאי ההתחלה" של הבעייה. את ו t נחליף לסימונים (t) ו t שמשמעותם הערך של לאחר שחלף זמן t מרגע ההתחלה. אחרי החלפת הסימונים מתקבלת המשוואה הסופית:. ( t) A( t ) At e t e זוהי פתרון קלאסי שכדאי לזכור למעגלי א, בל גם להשכלה כללית.

2 נתחיל במעגל הכולל קבל בעל קיבול, נגד בעל התנגדות וסוללה המייצרת מתח. נאמר שהקבל איננו טעון, ושבמעגל יש מפסק פתוח, כך שלא יכול לזרום בו זרם. ברגע t אנו סוגרים אותו ומאפשרים לזרם לזרום. מה יקרה במעגל? טעינה של קבל עלידי מקור מתח מרגע שהמעגל סגור, הסוללה יוצרת מפל מתח על הקבל. מאחר שהתילים בין הסוללה לקבל מוליכים, המצב היציב היחיד שאפשרי שבו הזרם נפסק כאשר יש שיוויון: כל צד של הקבל יהיה בפוטנציאל שווה לצד של הסוללה שהוא מחובר אליו (ובהעדר זרם אין מפל מתח על הנגד). לכן המצב ביציב הוא שהמתח על הקבל, V, שווה למתח של הסוללה. ומאחר שהמטען של קבל מקיים, V המטען שיהיה על הקבל במצב היציב הוא. השאלה היא כמה זמן יקח למערכת להגיע למצב היציב הזה מרגע סגירת המפסק, שהרי הקבל מתחיל ללא מטען. ליתר דיוק, מהו המטען על הקבל,,(t) והזרם במעגל,,(t) כפונקציה של הזמן לאחר סגירת המפסק. ראשית, נראה למה צריך לצפות: ככל שהקיבול של הקבל גדול יותר, כך דרוש מטען גדול יותר כדי ליצור עליו מפל פוטנציאל נתון. לכן ככל שהקיבול גדול יותר, נצפה שידרש זמן רב יותר כדי להגיע למצב היציב (כאמור, כאשר המתח על הקבל שווה למתח של הסוללה). זאת ועוד: הנגד מקשה על זרימת הזרם במעגל, ולכן ככל שההתנגדות גדולה יותר כך צפוי להתארך הזמן הדרוש להעביר מטען לקבל. מכאן,אנו מצפים למצוא שהתלות הזמנית של צבירת מטען על הקבל תהיה תלוייה הן ב והן ב. הראנו בכיתה שלמכפלה יש יחידות של זמן, כך שיש לצפות שמכפלה זו תתאר את הזמן האופייני להתקדמות מצב המעגל אל המצב היציב. נמצא כעת את הפתרון האלגברי של המצב במעגל לאחר סגירת המפסק. נשתמש בחוק קירכהוף על המתחים, שמוסיף להיות נכון אך יש להקפיד להציב את הגדלים במעגל כפי שהם בכל רגע ורגע. נבחר הן את כיוון הלולאה והן את כיוון הזרם עם כיוון השעון. שימו לב שהסוללה מכתיבה היכן הפוטנציאל הגבוה והיכן הנמוך על הקבל, ולכן המשוואה המתקבלת היא (t)v (t) (t)(t)/ עניין המשוואה הדיפרנציאלית נכנס כאן, כי הזרם (t) הוא קצב המעבר של מטען אל הסוללה, כלומר ( t) והצבה של הביטוי הזה לזרם במשוואת המתחים במעגל נותנת את המשוואה הסופית שלנו: ( t) ( t) הערה: פיתוח המשוואה הזו היה מבוסס על שיקולים של מעגלים חשמליים :ודאו שאתם מבינים כיצד היא התקבלה. עתה נעבור למתמטיקה.

3 נגדיר משתנה זמני חדש y, כך ש t y ( t),כך ש (t. ( הנגזרת של y לפי הזמן תקיים: t. dy d ( y ) ( t) dy הצבה של הקשרים הללו (y במקום ) במשוואה של המעגל החשמלי נותנת dy dy ( y( t) ) y( t) ברור ש / מצטמצם בשני האגפים ואנו נשארים עם התוצאה dy dy y( t) y( t). ועכשיו, סוףסוף, אפשר לקטוף את פירות עמלנו. אנו יודעים בדיוק מהו הפתרון של המשוואה, שהרי זו המשוואה עליה עבדנו בעמוד הראשון. התוצאה שקיבלנו היא,A/ וההתנהגות של המשתנה y עם הזמן היא t / y t y e כאשר, כזכור, y מסמן את הערך של y ברגע ההתחלה t, (רגע סגירת המפסק). אנחנו מתעניינים ב( (t ולא ב( y(t ולכן צריך להציב בחזרה. לפי הקשר בין y ל : ( t) t / e לפי תנאי השאלה, שהוא המטען על הקבל ברגע סגירת המפסק, הוא אפס. התוצאה הנכונה היא, לכן: ( t) t / ( t) t e ( e ) t ( t) ( e ) () () זהו המטען על הקבל כפונקציה של הזמן. אנאליזה קצרה של התוצאה מגלה לנו שאכן מתקיימות בו המגמות שציפינו להן. ברגע סגירת המפסק t ולכן t/ e, והביטוי בסוגריים שווה לאפס: כלומר, המטען על הקבל הוא אכן אפס. לעומת זאת, ככל שהזמן t גדול יותר e t/ שואף לאפס, הביטוי בתוך הסוגריים שואף ל, כך שהמטען על הקבל שואף ל, כפי שאכן צריך להיות. מעניין להעיר שתי הערות : השאיפה של ל היא אסימפטוטית רק אחרי t הביטוי בסוגריים שווה ממש לאפס. לפי התוצאה הזו המטען אףפעם (כלומר,אחרי זמן סופי) לא ממש מגיע ל. המכפלה אכן מופיעה בתוצאה: זהו הזמן האופייני להשתנות המטען על הקבל. אם נמדוד את המטען ביחידות של ואת הזמן ביחידות של נקבל התנהגות אוניברסאלית (גרף טיפוסי יחיד) של טעינת הקבל (ראו בעמוד 5). בעזרת גזירה של התוצאה שמצאנו ל (t) לפי הזמן נוכל למצוא גם את הזרם במעגל: t t ( t) e e גם ההתנהגות של הזרם הגיונית הוא מתחיל בערך,/ כפי שצריך להיות במעגל שיש בו סוללה עם מתח ונגד בעל התנגדות. המשמעות היא שבהתחלה הקבל לא משפיע, וזה נכון כי אין עליו מפל מתחים משלו. כשהזמן שואף לאינסוף, הביטוי e t/ שואף לאפס ואין זרם. המכפלה היא גם הזמן האופייני לשינוי הזרם במעגל.

4 פריקה של קבל המצב ההפוך הוא מעגל הכולל קבל בעל קיבול ונגד בעל התנגדות. הפעם אין סוללה, אך נתחיל ממצב שבו הקבל טעון במטען. ושוב ברגע t אנו סוגרים אותו ומאפשרים לזרם לזרום. מה יקרה במעגל? גם הפעם נשתמש בחוק קירכהוף על המתחים, כשהמתח על הקבל (כל עוד הוא טעון) הוא שדוחף את הזרם. שוב נבחר הן את כיוון הלולאה והן את כיוון הזרם עם כיוון השעון.במעגל הזה הבחירה נראית שרירותית, אבל חשוב לבחור כך ולא אחרת, כפי שנציין בסוף הסיכום הזה. כיוון הלולאה שבחרנו הוא נגד כיוון המתחים של הקבל ולכן (t)v (t) (t)(t)/ שוב נכתוב את הביטוי שקיבלנו כמשוואה דיפרנציאלית על המטען שהיא ( t) ( t) זו משוואה שאנחנו כבר מכירים היטב,ופתרונה הוא t ( t) e כפי שניתן היה לצפות, המטען על הקבל מתחיל בערך (כאשר t e), t/ ושואף אסימפטוטית לאפס, עם זמן אופייני של. גזירה של המטען לפי הזמן נותנת את הזרם, שהוא t ( t) e וגם זה בסדר הזרם מתחיל בערך של V / ושואף אסימפטוטית לאפס. כדאי גם להבין מדוע קיבלנו זרם שלילי, הווה אומר שכיוונו הפוך לכיוון השרירותי שבחרנו. הסיבה היא שהזרם (שמוגדר לפי תנועת המטענים החיוביים) אכן אמור לזרום מהצד החיובי של הקבל דרך הנגד ולהגיע לצד השלילי, וכך להקטין את המטען נטו על כל אחד מהכיוונים של הקבל. הצורה הגרפית של השתנות המטען והזרם כפונקציה של הזמן בפריקת קבל מוצגות אף הן בעמוד 5. ישנה נקודה עדינה בתרגיל האחרון של פריקת הקבל, ולמעשה יכולנו להסתבך בה גם במקרה של טעינת הקבל. כזכור, הכללים ליישום חוקי קריכהוף הם שניתן לקבוע את כיוון הזרם באופן שרירותי. ואמנם, במעגל ללא השתנות זמנית העקרון הזה נכון לכל היותר נקבל זרם שלילי, ונדע שהזרם בפועל הוא בכיוון הפוך לזה שבחרנו. לא כך הדבר במשוואות למעגלי, שבהם יש תלות מפורשת בזמן. אילו בציור בראש העמוד הזה היינו בוחרים את כיוון הזרם נגד כיוון השעון היינו צריכים להחליף את כיוון מפל המתח על הנגד, והמשוואה המתקבלת הייתה ( t) t ( t) ( t) ( t) e

5 לפי התוצאה הזאת, המטען על הקבל גדל באופן אקספוננציאלי עם הזמן. אין כאן טעות באלגברה זהו אכן פתרון מתמטי נכון של המשוואות. אלא, שהוא שגוי מבחינה פיסיקאלית: הוא מתאר מצב של ייצור אנרגיה יש מאין, כי המתח על הקבל וההספק הנצרך בנגד כל הזמן גדלים, למרות שאין שום מקור שיספק אותם. התפקיד שלנו הוא להבין שפתרון זה פסול, ולהתעקש על הפתרון השני. (t)/ (t)/( /) t/ (t)/ (t)/(/) t/ תוצאות גרפיות לשם השלמות אנו מציגים כאן באופן גרפי את מצב המעגל החשמלי בטעינה (צד ימין) ובפריקה (צד שמאל) של קבל. הגרפים מראים את הביטויים שקיבלנו עבור המטען על הקבל ועבור הזרם במעגל כפונקציה של הזמן. שימו לב חכך שהגרפים מתארים פונקציות אוניברסאליות, במובן הזה שאם מודדים את הזמן ביחידות של המכפלה ואת המטען והזרם ביחידות הטבעיות של המעגל (ראו להלן), הגרפים נכונים לכל המעגלים מטיפוס זה. המטען על הקבל כפונקציה של הזמן (הגרפים העליונים) והזרם במעגל כפונקציה של הזמן (בגרפים התחתונים). בצד ימין טעינה של קבל (קל לזהות המטען על הקבל גדל עם הזמן) ובמד שמאל פריקה של קבל. המטען הטבעי של מעגל טעינה של קבל הוא המתח של הסוללה כפול הקיבול של הקבל,, ובמעגל פריקה של קבל זהו פשוט המטען ההתחלתי על הקבל,. הזרם הטבעי הוא תמיד המתח הטבעי לחלק להתנגדות של הנגד: במעגל טעינה המתח הטבעי הוא המתח בסוללה, ואילו במעגל פריקה זהו המתח ההתחלתי בקבל,. / נשים לב כי כאשר,t הזרם (בכל המקרים) יורד ל /e מערכו ההתחלתי,.37 e/. המטען על הקבל במקרה של פריקה מגיע ל /e.63 מהערך הסופי שהוא שואף אליו, ובמקרה של טעינה יורד גם כן ל.37 מערכו ההתחלתי. האופי של הפונקציות האקספוננציאליות הוא כזה, שבכל התקדמות מזמן t לזמן,t נותרים עוד 37% מהדרך לערך האסימפטוטי יחסית לערך שהיה בזמן t. הנה המחשה עבור טעינה של קבל שימו לב להבדל היחסי בין הערכים של כל שתי עמודות עוקבות. t/() (t)/() (t)/(/) e.63 e.37 e.86 e.4 3 e 3.95 e e 4.98 e 4. 5 e e 5.7